[켈리공식 A to Z] 1-6. 4가지 경우를 고려한 켈리공식

해당 글은 시리즈로 연재되고 있으며

이전 글을 안 읽으셨다면 이전의 글부터 먼저 읽어보길 추천드립니다.

우선 켈리공식 A to Z 시리즈를 시작하기에 앞서...

 

 

켈리공식을 본격적으로 사용해 보겠습니다.

 

우선 이러한 상황이 있다고 4가지 경우로 나누어서 살펴보겠습니다.(4일간 주식시장을 관찰 결과 상하한가 가정 제외)

 

A. 20%의 확률로 베팅금액 2배만큼 받는다.

B. 30%의 확률로 베팅금액만큼 받는다.

C. 40%의 확률로 베팅금액 절반만큼 잃는다.

D. 10%의 확률로 베팅금액 전액을 잃는다.

 

이런 게임이 있다고 가정해 보겠습니다.

각 경우는 1가지 경우만 일어납니다. A사건이 일어났다면 B, C, D는 일어날 수 없다는 말입니다.(B 사건이 일어났다면 A, C, D는 안 일어남.....) 이는 독립적이라는 말이 되겠습니다.

 

이전 시간에 앞서서 배운 것을 잘 따라왔다면

투자비율 f에 따라 평균 1 회차당 게임을 했을 때 자금이 불어난 비율인 g(f)는 어떻게 표시할 수 있을까요?

정답은...

 

일부러 A,B,C,D에 해당하는 것을 색깔을 대응하여 표시하였으니 이 부분이 이해가 안 된다면 켈리공식에 대한 부분을 완전 처음부터 읽어보시는 것을 추천합니다.

 

해당하는 그래프는 여기에 표시해두었으며

https://www.desmos.com/calculator/pxqb7ycba1

Desmos | 그래핑 계산기

약 42.37%(0.4237) 베팅에 1번 게임당 평균 1 회차당 게임을 했을 때 자금이 불어난 최대비율은 8.15%(1.0815) 임을 알 수 있습니다. (이는 g(f)에서 0.4237 f값을 직접  대입하면 1.0815를 확인할 수 있습니다.)

 

이번 글에선 A,B,C,D 4가지의 경우로 나누어서 어떻게 하면 기하수익률을 최대로 할 것인지 확인해보았습니다. 참고로 이기고 지는 것 단 2가지 경우의 수가 아니라 경우의 수를 3가지 이상으로 늘리는 것을 정확하게는 켈리공식이 아니라 켈리기준(kelly criterion)이라고 합니다. 하지만 앞으로의 설명에서도 그냥 켈리공식이라고 명칭 하겠습니다.

 

이를 식으로 표현하자면?

 

파이(1+rf)^p 혹은 프로덕트(1+rf)^p라고도 합니다 파이(프로덕트)는 곱을 연결한 것을 말합니다.(우리가 아는 원주율 파이의 대문자 모양이 저렇습니다.) 시그마는 합을 나열한 것이고 여기 파이는 곱을 나열한 것입니다. 위의 색깔 넣은 식과 비교하면서 보시면 이해가 잘 될 것입니다. 이후에 번외로 곱을 합으로 변경하는 방법에 대해서도 한번 이야기를 해보겠습니다.

 

위의 식을 고려한다면 4가지가 아니라 k가지의 경우에서 이산적으로 보았을 때 얼마만큼 베팅해야 할 것인지 알 수 있을 것입니다. 과거의 k일간 주가의 흐름을 보았을 때도 이런 식으로 활용해서 적용할 수 있겠지요. 그런데 이렇게 모델링한다면 문제점이 없을까요? 이건 다음 시간에 설명해보겠습니다. 힌트를 주자면 왜 A, B, C, D를 저런 식으로 생각을 했는지? 확률 저것이 맞긴 맞는지? 독립적인지? A, B, C, D사건이 1개만 일어나야 하는지? 그리고 저것을 해결하기 위한 방법은 없는지? 등을 차근히 또 다뤄보겠습니다.

 

다음 글

1-7. 이산적 모델링의 근본적인 문제점