[켈리공식 A to Z] 1-2. 켈리공식 본격적으로 사용해보자

해당 글은 시리즈로 연재되고 있으며

이전 글을 안 읽으셨다면 이전의 글부터 먼저 읽어보길 추천드립니다.

우선 켈리공식 A to Z 시리즈를 시작하기에 앞서...

 

 

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앞선 글들에서는 확률적 우위가 전혀 없는 경우 게임에 참여해서는 안된다는 사실을 한번 더 강조했습니다.

 

이번에는 자발적 자원봉사자(자신의 돈을 퍼주는)가 개최하는 도박이 있다고 가정시(확률적 우위가 있는경우) 켈리공식을 어떻게 적용해야 할지를 생각해 보겠습니다.

 

자발적 자원봉사자가 내기를 제안합니다.

이겼을 때와 졌을 때 확률은 각각 50%

이겼을 때는 베팅한 돈의 2배를 가져가고(순배당률) 졌을 때는 모든 것을 잃는 게임을 하자고 한다면 여러분은 이 게임에 참여를 한다고 할 것입니다.(확률적 우위가 있기 때문에)

 

산술평균적인 기대값을 구해보겠습니다.

50%×2 - 50%×1 = 0.5×2+(-0.5) = 0.5

 

내 총 자본은 100원이라고 해보겠습니다. 산술평균의 기대값이 0.5라는 것은

단일 시행(한 번만 게임을 하는 경우)에 있어서 내가 100원을 베팅하면 총 자본이 +50원 만큼의 기대가 된다는 의미입니다.

 

하지만 이 게임을 연속해서 지속적으로 할 수 있다고 한다면 과연 100원 전부 베팅 하는 것이 맞을까요? 그것이 과연 현명하진 않을겁니다. 왜냐하면 전부 베팅해서 나머지 50%의 확률로 전 재산을 날릴수도 있기 때문입니다.

 

이제부터 조금 더 상상력이 필요합니다.

그렇다면 100원을 전부를 걸지말고 10원정도(10%)만 걸면 안될까요? 그럼 설령 진다하더라도 남은 90원이 남고 또 10%만큼 9원을 베팅하고 또 진다 하더라도 우리에겐 81원이 남아있습니다. 지속해서 연속으로 지더라도 기대값이 어느정도 이상이기 때문에 또 다른 기회를 얻어 다시 더 이기면 내 총 자금이 늘어나리라는 것을 쉽게 상상할 수 있습니다. 근데 꼭 10%만 베팅해야하나요? 전체 자금의 11%를 베팅하면 안될까요? 12%는요?

 

반대로 100%를 베팅해서 잘못하면 전재산을 잃을 수 있으니까 100%를 베팅하면 안된다는 것은 이제 알겠습니다. 그럼 99%를 베팅하면 안될까요? 99%를 베팅해서는 안된다는 것은 직관적으로 안된다는 것을 알 수 있을 것입니다. 전재산의 99% 베팅해서 졌다면 1%만 남게 되는 셈 이니까요. 위험부담이 너무 크지요. 그럼 98%는 괜찮을까요? 97%는요?

 

너무 베팅을 무리하게 해서 큰 자금을 잃는 경우만 아니면 재기할 수 있기 때문에 어느정도 베팅의 크기를 늘려나가는 것이 괜찮다는 사실을 직관적으로 알 수 있을 겁니다.

 

너무 무리하게 베팅을 하지 않는다와 게임을 계속 한다면 다시 본전이상 계속해서 얻을 기대가 있다의 최대한도의 균형점에 있는 것이 기하평균이 최대화 되는 부분이고 그 베팅 최적화 비율을 켈리비율이라고 합니다.

 

그렇다면 연속해서 무한히 게임을 할 때 일정 비율만큼 베팅을 한다면 어떻게 해야 최적의 결과값을 얻어 낼 수 있을까요? 베팅을 1%~100%까지 늘려가면서 우선 일일이 하나하나 수치해석적으로 하는 방법도 존재하지만 우선 그렇게 하지 않겠습니다.

 

왜냐하면 위의 경우가 딱 켈리공식을 사용해 볼 수 있는 경우이기 때문입니다.

 

켈리공식을 사용할 수 있는 경우는 이전의 글에서

 

1. 이기고 짐의 확률을 이미 알고 있다.

2. 이겼을 때 순 배당률을 안다.

3. 졌을 때 모든 금액을 잃는다.

 

이렇게 알려드렸습니다.

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공식을 한번 사용해 보겠습니다.

출처 - 위키피디아 켈리공식 자료

f = (0.5×(2+1)-1)/2 = 0.25

 

즉 총 자금의 25%만큼 베팅하는 것이 기하평균을 높이는 최적의 사례임을 알 수 있습니다.

이 때 기하평균을 극대화시키는 최적의 비율을 켈리비율이라고 합니다.

 

다음 시간에는

1. 25%만큼 베팅하는 경우 50%만큼 베팅하는 경우

2. 12.5%만큼(켈리비율의 절반만큼) 투자했을 때 VS 37.5%만큼(켈리비율의 1.5배만큼) 투자했을때

 

이럴 때를 각각 이항분포로 그려보고 느낌적인 이해를 좀 더 도울 것입니다.

 

다음 글

1-3. 켈리공식 본격적으로 사용해보자(2)