[켈리공식 A to Z] 번외편. 켈리공식의 장점과 단점(1)

해당 글은 시리즈로 연재되고 있으며

이전 글을 안 읽으셨다면 이전의 글부터 먼저 읽어보길 추천드립니다.

우선 켈리공식 A to Z 시리즈를 시작하기에 앞서...

 

다중자산의 분배를 설명하기 전 먼저 설명하면 더 좋겠다 싶은 것을 먼저 이야기하고 넘어가고자 합니다. (친구랑 켈리기준에 대해서 이야기를 하다가 먼저 정리를 하는게 좋을 거 같아서 언급함)

 

금융전문지 Willmot에 켈리기준(kelly criterion)에 대해서 장점과 단점을 잘 설명한 article이 실린적이 있습니다.

Good and bad properties of the Kelly criterion(2010) 이란 article인데 검색을 하면 쉽게 pdf파일을 찾을 수 있습니다.

 

이 아티클의 저자

Leonard C. MacLean, Edward O. Thorp, William T. Ziemba

3명은 모두 켈리기준 전문가이며 켈리기준과 관련한 논문 모음집을 같이 정리해서 내기도 했습니다. The Kelly Capital Growth Investment Criterion(켈리 자본 성장 투자 기준)이란 책인데 켈리기준에 대해서 모든 것을 종합한 책이라고 볼 수 있습니다. 책에서는 효용에 관해서 초기아이디어(상뜨페테르부르크의 역설)부터 시작해서, 자산배분에 대한 켈리 최적화의 관계, 켈리의 좋고 나쁜 속성과 비평가들, 효용에 대한 문제, 다른 위대한 투자자들과 켈리 타입의 전략의 효용의 증거에 대해서 다루고 있습니다. 모든 논문을 다 읽지 않았고 앞 서문들만 읽어봤던 기억이 납니다.

 

Good and bad properties of the Kelly criterion(2010)

특히 이 아티클의 경우 국내에 크래프트 테크놀로지스 김형식 대표님이 번역을 해둔 것이 있습니다. 그 내용을 바탕으로 설명을 드리겠습니다.

 

링크는 아래에 주소에 있습니다. ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

https://cafe.naver.com/volanalysis/741

[번외]켈리기준의 장단점 by Bill Ziemba

이 글에 대해서 비판할 만한점 분명히 있습니다.

그 이유는?

첫번째. 자본 성장 경로가 똑같다고 해서 그들이 켈리기준을 사용했다는 말이 아니기 때문(근거가 너무나도 부족) 

두번째. 만일 본능적으로 켈리비율을 사용해서 저 성장경로가 같다면? 왜 자기들은 똑같이 따라하지 못했는가?

성장경로가 자본의 투입량의 최적화를 했기 때문에 워런 버핏과, 조지 소로스를 켈리공식을 활용한 사람이라고 정의하기엔? 근거는 너무 빈약합니다. 켈리베터들이 주장하는 근거가 너무 약해서와 많이 어거지를 부린게 있다고 봅니다.

 

다만 table 2. 의 번역부터는 정말 핵심적으로 읽을만한 관점이 많다고 생각하는데

위의 김형식님의 글에서 번역한 것은 파란색 + 제가 덧붙이는 설명은 초록색으로 두고 설명을 두고 이야기하겠습니다.

 

Good: E(log X)를 최대화하는 것(즉 켈리기준)은 근사적으로 자본성장률을 최대화한다.

(여태까지 순서대로 글을 읽었다면 기하수익률의 최대화가 켈리기준이란 것을 알테고 그것은 한참후에 궁극적으로 자본성장률을 극대화 할 것이란 것을 알게 될 것입니다.)

 

Good: E(log X)를 최대화하는 것은 특정 자본수준에 가장 빨리 도달하게 해준다.

(같은 이야기)

 

Good: 켈리기준은 예상되는 미래자본의 중간값을 최대화해준다.

(이항분포의 경우를 생각해보면 됩니다. 아무리 기하수익률을 최대화 해도, 결국 운이 나쁜 사람은 운이 좋은 사람을 못이깁니다) 

 

Bad:   켈리기준을 따른다고해서 미래 효용의 기대값을 최대화시켜주는 것은 아니다. (효용과 돈은 다릅니다.)

효용은 개인적으로 다르기 때문입니다.

 

Good: 켈리기준을 따르면 절대 파산하지는 않는다.

여기엔 좀 이견이 있다 생각하는데 파산하지 않는다? 외부의 절대 일어날 것 같지 않은 결과물들이 나오거나(블랙스완) 그러면 충분히 파산도 가능합니다.

 

Bad:   켈리기준을 따르면 이기고 지는 순서는 상관없다. 즉, 여러번 연속으로 이기고 여러번 연속으로 지든, 번갈아가면 이기고지든  자본은 같다. 그러나 한번 이기고 한번 지거나, 한번 지고 한번 이기면 그 순간에는 원금보다 손실이다.

같은 자본을 두고 연속적인 투자를 하기 때문이며 당연히 횟수에 영향을 받습니다.

 

Good: 재산이 증가할수록 베팅액수도 증가한다.

때문에 재산이 곱하기가 개입할 수도 있지만 역시나 나누기도 개입할 수 있습니다. 굳이 좋냐 안좋냐를 따지기엔 애매하다고 생각합니다.

 

Bad:  투자기회가 매력적이고 리스크가 아주 작다면 켈리비율은 아주 높을 수 있다.

예금이 그렇습니다. 변동성(리스크)가 거의 없는 상품 다만 그렇다고 해서 켈리비율이 높아고 해서 수익률도 같이 높진 않습니다.사실 켈리공식의 전제조건으로 최적화를 하면 "변동성 대비" 가장 잘나가는 자산에 더 많이 가중치를 줘서 분배를 하라는 쪽으로 최적화가 됩니다. 하지만 켈리비율이 높다고 해서 "복리수익률"도 높다는 말은 사실은 아니라는 말입니다.

 

여태까지는 켈리비율이 높으면 "기하평균"이 가장 최대화된다고 하지 않았냐? 무슨소리 하는거냐? 라고 생각할 수도 있겠지만 아래의 설명을 통한다면 확실히 이해가 되지 않을까 합니다.

 

(무위험 수익률을 제외한다고 가정하면)켈리비율이 가장 높은 투자는? 예금입니다.

이유는? 변동성 "없이" 확실하게 다음 이자를 받을 수 있기 때문입니다.

 

앞선 시간에서 평균, 분산에 대해서 설명한 부분이 기억나시나요?

f(켈리기준) = [m(평균) - r(무위험이자율)] / (s^2)(분산 or 표준편차의 제곱)

여기에서 표준편차가 극도로 작으면 어떻게 될까요?

켈리기준의 최대값인 켈리비율은 거의 무한대에 가까워집니다.

 

이 말의 의미를 좀 더 풀어서 이야기를 해보자면

만약 예금 세후 이자가 대출 이자보다 높다면? 무한대로 돈을 대출받아서 이율이 더 높은 예금에 투자를 하면 된다는 의미입니다. 다만 현실에서는 이런 상품은 존재하지 않습니다. 우선 현실에서는 대출한 은행이 망하지 않더라도 예금한 은행이 망할 가능성도 존재합니다. 그것 뿐만이 아니더라도 대출이자가 예금이자보다 싼 상황은 일어나지 않습니다. 은행이 땅을 파서 장사를 하는 것이 아니기 때문입니다.

 

그렇다면 단일자산이 아니라 다중자산일 경우는 어떻게 해야할까요?

변동성 거의 없지만(은행이 망하지만 않으면) 평균값이 작은 예금

평균값이 크지만 변동성은 좀 큰 자산군들(ex) 주식, 비트코인)

이걸 여러개 섞을 때 기하평균을 가장 높이게 하려면 어떻게 섞는게 좋을까요?

이게 다중자산간 분배에서 핵심인데 다음시간에 설명하겠습니다.

 

Bad:  데이타가 불확실할 경우 오버베팅의 위험이 존재한다.

 

[켈리공식 A to Z] 1-7. 이산적 모델링의 근본적인 문제점

여기에 부가 설명은 다 적어두었습니다.

 

Bad:  너무 큰 베팅이 투자기회에 영향을 줄 수도 있다.

변동성이 크기 때문에 당연히 타이밍에 영향을 받을 수 있습니다.

 

Bad:  베팅조절을 감안하지 않은 수익률은 산술평균수익률의 1/2에 수렴하므로 남이 보기에는 초반에는 그리 수익성이 높아보이지 않을 수도 있다.

CAGR 1%차이가 기간이 길면? 결국 엄청난 차이를 만듭니다. 이를두고 누군가는 복리의 마법이라고도 표현하기도 합니다.

 

Bad:  켈리베팅의 2배를 과잉베팅하면 자본성장률을 0+무위험이자율 의 수준으로 낮춘다.

때문에 과소베팅을 하는게 차라리 더 좋을수도 있습니다. 위 링크인 1-7. 설명을 참조하면 좋습니다. 나중에 추가로 Thorp(2007) 논문에 왜 과대베팅을 하는 것보다 차라리 과소베팅을 하는게 나은지에 대한 설명을 하겠습니다.

 

Good:  켈리베터는 평균에 있어서 매회에 다른 어느 베터에게도 지지않는다.

같이 이기고 같이 지기 때문인데 다만 타이밍을 가미한 베터에겐 질수도 있다고 생각합니다.

 

Good: 켈리베터는 근시안적으로(myopic) 행동해도 된다. (경제학의 용어인데요, 투자결정을 함에 있어 해당 투자 이후의 투자기회에 대한 고려를 하지 않아도 된다는 의미입니다.)

이건 좀.... 글쎄요?

 

Good: 첫 플레이 이후 켈리베터가 다른 베터들보다 돈이 많을 확률은 적어도 50% 이다.

다만 첫 플레이 이후 다른 베터보다 돈이 적을 확률도 50%로 라는 겁니다.

 

Good: 시뮬레이션 연구는 합리적인 사이즈의 샘플에서 켈리베터가 다른 베터들을 재산에서 멀찌감치 따돌리는 것을 보여주었다.

근시안적으로는 켈리 베터는 다른 베터들에 비해 오히려 뒤질 수 있습니다

 

Good: 만일 특정 성장률 이상이 될 높은 확률을 원한다면 네거티브 파워 효용함수나 부분켈리베팅을 하면 된다.

자본을 보존하기 때문에 하프켈리 베터의 경우 기하수익률은 절반이지만? 일부 자본을 반드시 보존하기 때문에 장기성장률은 켈리베터에 비해 낮을 수 있지만 당연히 수익곡선의 변동성은 훨씬적을 겁니다. 풀켈리비율로 투자하는 베터에 비해 하프켈리 베터의 변동성은 1/4가 될 것입니다.  

 

Bad: 장기적으로 최대의 복리성장률을 가져옴에도 불구하고 단기적으로 매우 나쁜 결과도 가능하다. 예를 들어 14%의 우위가 있는 700번의 베팅을 할 경우 1000$ 가 18$ 가 될 19% 의 확률이 존재한다. 또한 1000$가 100,000$가 될 16.6%의 확률도 존재한다.

운이 좋냐 나쁘냐, 운이 높냐 나쁘냐? 위의 표를 참조하시면 됩니다.

 

Bad: 켈리베터가 다른 베터를 이기기까지 상당한 시간이 소요될 수도 있다. 연간평균수익이 각각 20%, 10%이고 표준편차가 10%인 두 기회를 생각해보면 켈리베팅시  5년안에 20% 수익률의 투자기회가 10% 수익률 투자기회를 앞설 확률이 95% 이다. 그러나 만일 20% 투자기회의 표준편차가 10%가 아니라 20% 라면 앞설 확률이 95%이기 위해서는 157년이 걸린다. 동전던지기에서 동전간 우위의 차이가 1% 뿐이라면 켈리베팅시 이 우위를 이용하여 앞서나갈 확률이 84% 이기 위해서는 2백만번의 동전던지기가 필요하다.

다르게 말하면 손익비대칭의 원리이기도 한데 손해를 심하게 본다면? 복구하는데 어마어마한 시간이 걸릴 수도 있다는 것을 의미합니다.

 

추가로 켈리공식을 설명 하는 것중 잭 슈웨거가 에드워드 소프를 인터뷰한 책들 <시장의 마법사들 - 헤지펀드>에 대한 내용도 다음편에 다뤄보겠습니다.

 

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번외편. 켈리공식의 장점과 단점(2)