[켈리공식 A to Z] 번외편. 워런 버핏이 2번이나 주총에서 언급한 논문?(1)

해당 글은 시리즈로 연재되고 있으며

이전 글을 안 읽으셨다면 이전의 글부터 먼저 읽어보길 추천드립니다.

우선 켈리공식 A to Z 시리즈를 시작하기에 앞서...

 

버핏이 주식총회에서 2번이나 언급한 논문이 있다면 믿으시겠습니까?(1997, 2004)

David durand가 1957년에 출간한 논문 Growth stocks and the petersburg paradox입니다.

petersburg paradox는 St.petersburg paradox를 말합니다.

해당 논문의 원리는 너무나도 간단하지만 중요한 원리를 담고 있습니다.

우선 워런버핏은 이 논문을 인용하며 할인율보다 높은 성장률이 장기간 이어질 수 없다.

반대로 말하면 높은 장기성장률은 수학적 가치가 무한대가 된다.

성장률 추정치가 높아서 기업의 가치가 무한하다는 평가가 나오면

현실적인 성장률로 대체해야 한다고 한다고 언급하였습니다.

기업의 성장률은 알겠는데? 할인율?은 과연 무슨 뜻일까?

그리고 St. petersburg paradox와는 무슨관계가 있을까요?

 

St. petersburg paradox에 대한 설명은 아래 링크에 적어두었습니다.

 

https://blog.naver.com/gambari90/222403671495

[켈리공식 A to Z] 무려 1738년에 나온 효용을 따지기위한 태초의 논문 - 다니엘 베르누이의 상트페

우선 St. petersburg paradox는 어떤 부분이 특이할까요?

설명에서는 예시를 위해 도박자가 받는 배당금을 가정하였습니다.

 

기대값이 무한대이기 때문에 판돈을 얼마로 정해야할지 생각하기 힘들다면?

반대로 주최자 입장에서도 초기 배당금도 얼마로 해야할지 정하기 힘들다는 말과도 같습니다.

예시에서는 초기 배당을 1원으로 했지만

초기배당을 2원으로 시작하든 3원으로 시작하든 아무 상관이 없습니다.

왜냐하면 배당도 지면 질수록 기하급수적으로 증가할 것이기 때문입니다.

초기배당 또한 얼마로 산정하든 간에 기대값이 무한대가 되기 때문입니다.

(기대값을 다 더하면 기대값의 총합은 결국 무한대이기 때문에...)

서로 주최자도, 참여자도 판돈은 얼마만큼이 적당한지 눈치싸움을 하게되며

기대값이 무한대라서 발생하는 아이러니입니다.

 

 

해당 논문에선 st. petersburg의 역설을 2가지 방법접근하는 사람이 있다고 합니다.

피터(도박장 제공자), 폴(도박자)라고 생각해볼 때

 

1. 게임의 기본가정의 비현실적이다.

일단 없는 게임이다.

 

2. 기대값이 무한대처럼 보이지만 게임의 가치가 수학적 기대가지보다는 낮다.

 

(1) 피터(도박장 제공자)와 폴(도박자)은 언젠가 죽는다.

수명이 있기 때문에 무한의 게임은 존재하지 않는다.

 

(2) 피터의 지급능력에 문제가 생긴다.

이 부분은 동의하는 바가 뭐냐면

마틴게일 방식으로 물타기를 해서 자금으로 찍어 누르는 경우

도박자는 운영자를 이길 수 있게 됩니다.

 

도박장의 운영자의 입장이 된다 가정해보겠습니다.

결국에 돈이 많다면 운영자를 이길 수 있는 입장이 되기 때문에

도박장의 운영자는

도박자가 연속해서 지다가

자금을 더 크게 걸어서 큰 금액이 당첨되면

그냥 당첨금액을 도박자에게 주지 않고 도망가버리면 됩니다.

때문에 이 게임은 현실상에서는 존재하지 않는 게임이 됩니다.(1번 일단 없는 게임이다는 입장)

물론 실제 도박장에서는 배당률 조정과 베팅할 수 있는 최대 상한선을 두고 있어서

현실상에서는 결국 장기적으로 게임을 하다보면 도박장이 이기게 됩니다.

운이 좋은 사람은 전투에서 이길 수 있겠지만

카지노는 전략에서 이기기 때문에 결국 카지노의 전략적 승리로 돌아가게 됩니다.

 

(3) 게임 횟수가 급격하게 증가하면 베팅금액이 기하급수적으로 증가한다. 35번을 연속해서 질 경우 미국 은행 예금 전액만큼 걸리게 된다...

도박자의 자금도 무한대로 필요한데 그것은 주최자도 마찬가지인건 사실입니다.

그만큼 능력이 될 것이냐?

 

기대값이 무한대처럼 보이지만 게임의 가치는 사실상 그보다는 낮다는 것을 설명하기 위해서

다니엘 베르누이는 참여자의 입장에서 효용이란 개념으로 접근하려고 했습니다.

돈의 한계효용은 보유한 금액에 반비례하고. 무한대의 기대값은 무한대로 평가할 수 있는 자원을 갖기 전까진 무한대로 평가할 수 없다고 접근하였습니다. 즉 기대값이 무한대라는 것은 "내가 자본금을 1원을 들고 있으나, 100원을 들고있으나, 1000원을 들고있으나 무한대로 돈을 들고 있으나 똑같다"라는 주장이라는 것인데 그 주장은 그 자원을 무한대로 가지기 전까지는 잘못되었다는 것입니다.

그래서 나온 주장은 금액에 대한 효용이 다르다. 자본이 10일때 3 100일때 4, 1000일때 6 정도의 효용이 있다고 하는데 이는 로그함수와 비슷한 모습입니다.(1000일때는 5가 아닐까 생각합니다만.... 논문에는 그렇게)

 

다니엘 베르누이의 주장 약 1세기 이후에 W. A. Whitworth는 한계자원을 가진 도박자들은 파산위험을 고려해서 베팅을 하기 때문에 다르다 주장했습니다. 예를들어 A가 1달러의 자본금, B가 10달러의 자본금을 가지고 있으면 같은 돈을 가지고 베팅을하고 같은 게임에 참여하고 있으면 A가 10/11의 확률으로 희생자가 될 수 있습니다. 만약 자신이 신중한 도박가 A의 입장이라면? 일정한 금액이 아니라 일정한 '비율'만큼 거는 것으로 문제를 해결할 수 있다 생각하였습니다. B가 1달러를 베팅하게 된다고해서 같이 따라하면 어떻게 될까요? A가 전재산인 1달러를 거는 것이 아니라. B가 1/10을 걸었듯이 10센트만 걸어야 같은 효용이라고 생각하였습니다. 즉 A와 B의 효용은 각자 다른 것이며, 자원이 고갈될 때 한계효용이 높다는 것을 말하고 있습니다.

 

이 부분에 대해서 제 생각을 살짝 덧붙이자면, 워런버핏의 치즈버거 1개와, 내가 사먹는 치즈버거 1개의 가격은 같지만 가격지불에 대한 효용(쓰고 남은 돈 잔액, 포만감, 만족도를 전부 포함)은 다르다는 것 입니다.

또한 기업의 고 ROE가 무조건 좋은 것은 아니다는 것을 말합니다. 단순히 ROE를 높이는 방법은 부채를 끌어쓰기만 해서 수익률을 높일 수 있기 때문입니다. 부채를 끌어쓰는 만큼 위험도 증가합니다. 와 같은 예시를 들 수 있습니다.

 

위의 관점으로 볼때, 문제가 무한한 것을 볼때 결국 현금의 가치를 평가하고, 그 대가로 얼마만큼의 금액을 지불해야할지 고민을 해봅니다. 사실 주식의 기대값은 극단적으로 말하자면 상방은 무한대로 상승 하방은 -100%(파산)으로 매우 비대칭적입니다. 이런 비대칭 상황에서 정말 상방은 무한대가 맞을까요?

 

그래서 만약 주식을 사는 입장이라면 할인된 가치를 어떻게 산정해야하는지? 피터(도박장 제공자)가 성장산업에서 기업을 조직하고 폴(도박자)에게 주식을 제공한다면? 폴은 St. petersburg의 역설과 같이 할인된 가치를 지불하는 것을 꺼릴 수 있습니다. 왜냐? 무한한 기간동안 성장률에 대한 기본가정을 부인하고(기업은 영속하지 않고 망할 수 있음을 염두에 둠), 때문에 주식의 가치가 이론적으로 할인된 가치보다 더 적다고 주장할 수 있습니다.

 

즉 개인 투자자는, 기업의 성장 및 배당성장률에 대해서도 고민해야하고, 배당흐름이 현재의 효용가치보다 미래에는 할인된 화폐가치인지도 고려해야하고, 파산에 대한 손실도 고려해야하기 때문에 자금의 전부를 투자하기보다는, 일부만을 투자할 수밖에 없는 상황입니다. 폴이 지불해야하는 가격이 피터가 제안하는 방법이 무한이 아니든 폴이 지불해야하는 가격도 결국엔 무한이 될 수 없다는 것을 나타냅니다.

 

그리고 누구나 주식을 매수하기전에는 폴의 입장(도박자의 입장)에서 주식을 보유한 순간 피터의 입장(도박장 제공자)의 입장으로써 주식을 잘 팔아야하는 상황으로 언제든지 바뀔 수 있습니다.

 

여기에서 할인됐다는 표현에 대해서 조금 더 알아볼 필요가 있는데요. 다음시간에는 할인과 할인율에 대해서 설명을 하는 시간을 가져보겠습니다.

 

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